Résumé

Alors qu'un courant de recherches s'efforçait de reformuler la mécanique quantique en abrogeant les opérateurs et en leur substituant des fonctions, Wigner et Szilard proposèrent en 1932 une quasi-distribution de probabilités définie sur l'espace de phase grâce à des fonctions d'onde. Ils n'expliquèrent pas quelle en avait été la genèse.
La première partie de notre thèse propose une genèse de cette quasi-distribution, fondée sur les conditions naturelles qu'elles doit remplir. Elle se penche brièvement sur une pathologie dont elle est affectée : présenter dans certains sous-domaines de l'espace de phase des valeurs négatives (d'où le « quasi »), pathologie qui ne porte aucun préjudice au calcul des valeurs moyennes. Elle montre ensuite comment, si on tient compte du spin, les fonctions d'onde cédant la place aux spineurs, on est amené, grâce au calcul des valeurs moyennes d'observables, à une généralisation de cette quasi-distribution sous la forme d'une matrice hermitique. Cette démarche est étendue à la transformée croisée de Wigner, c'est-à-dire aux valeurs faibles.
Un important théorème, qui a fait l'objet d'une publication, est démontré dans la deuxième partie de notre thèse. Utilisant l’analyse harmonique, ce résultat exprime les valeurs faibles en terme d’une intégrale sur un groupe Lie agissant sur l’espace de Hilbert considéré. Nous donnons deux exemples particuliers : SU(2) et SO(3). Le cas d'un groupe quotient est brièvement évoqué.
Dans une troisième partie, nous rappelons le lien bien connu entre les algèbres de Clifford et deux équations importantes de la physique quantique : celle de Klein-Gordon et celle de Dirac, et sa généralisation aux espace-temps riemanniens.
Nous introduisons enfin dans une quatrième partie les groupes de spin, et utilisons le groupe de spin Spin(3,2) dans le contexte de la transformée croisée de Wigner traitée dans la première partie.

Jury

  • Prof. André FÜZFA (UNamur), Président
  • Prof. Yves CAUDANO (UNamur), secrétaire
  • Dr Thomas DURT (Institut Fresnel et Ecole Centrale Marseille, Marseille, France)
  • Prof. Romain MURENZI (Worcester Polytecnic Institute)
  • Prof. Dominique LAMBERT (UNamur)
  • Prof. Bertrand HESPEL (UNamur)
  • Prof. André HARDY (UNamur)