Acquis d'apprentissage

Introduction aux concepts mathématiques de la mécanique quantique à travers les postulats

Applications de la mécanique quantique en  physique atomique et moléculaire,  physique nucléaire ou physique de l'état solide (y compris l'oscillateur harmonique).

Notion de moment cinétique et de spin

Méthodes d'approximation pour les systèmes complexes

 

Objectifs

En se basant sur les acquis du cours de mécanique quantique I (SPHY B206), l'étudiant se familiarisera les notions de moment cinétique et de spin. Les problèmes transversaux aux applications de la mécanique quantique en physique nucléaire, physique atomique et moléculaire et physique du solide seront abordés en détail : Oscillateur Harmonique, symétries, atome d'hydrogène et potentiel centraux, méthodes d'approximation pour les problèmes complexes. Ces concepts seront précédés d'une introduction aux concepts mathématiques de la mécanique quantique, à travers les postulats.

 

Contenu

Le cours propose entre autres une introduction à l'utilisation du moment cinétique et du spin en mécanique quantique non-relativiste. Il traite également en details les problèmes classiques de la mécanique quantique, qui serviront de base pour la formation du physicien : oscillateur Harmonique, symétries, atome d'hydrogène et potentiel centraux, méthodes d'approximation pour les problèmes complexes. Ces concepts seront précédés d'une introduction aux concepts mathématiques de la mécanique quantique, à travers les postulats.

 

Table des matières

Partie A


I. Rappels : dualité onde-corpuscule et mesure quantique

II. Formulation mathématique du postulat du vecteur d'état


  • Espaces vectoriels topologiques (dimension infinie) et de Banach
  • Espaces de Hilbert et bases orthonormales d'états observables

III. Mécanique ondulatoire (Schrödinger) vs mécanique des matrices (Heisenberg)


  • Théorème de Parseval et espaces de Hilbert séparables ; isomorphisme H et l^2
  • Non-localité : intégrale et espaces de Lebesgue

IV. Formalisme BRA-KET de Dirac


  • Dual topologique et théorème de représentation de Riesz
  • Distributions et fonctions généralisées ; delta de Dirac
  • Espaces d'Hilbert équipés (triplet spectral)


Partie B

VII. L’oscillateur harmonique en physique quantique

1. Hamiltonien de l’oscillateur harmonique

2. Quantification

3. Opérateurs de création et d’annihilation

4. Expression de l’hamiltonien et relation de commutation

5. Diagonalisation de l’hamiltonien

6. Energie de point zéro

7. Excitations et particules

8. Etats de l’oscillateur harmonique en représentation R

VIII. Le moment cinétique en physique quantique

1. Moment cinétique

2. L’opérateur moment cinétique

3. Grandeur du moment cinétique

4. Moment cinétique et force centrale

5. Diagonalisation simultanée de L2 et Lz

6. Moment cinétique et représentation R

IX. Le spin

1. Moment magnétique orbital et moment cinétique

2. Moment cinétique de spin demi-entier. Expérience de Stern-Gerlach

3. Etats propres et représentation du spin

4. Particules identiques : bosons et fermions

5. Précession du spin et système à deux niveaux

Partie C

X. Composition de moments cinétiques

XI. Système à plusieurs dimensions

1. Hamiltonien séparable

2. Hamiltonien et potentiel central

3. Atome d'Hydrogène

XII. Méthodes d'approximation stationnaire

1. Perturbation stationnaire pour des états non-dégénérés.

2. Perturbation stationnaire pour des états dégénérés.

3. Structure fine de l'atome d'hydrogène.

XIII. Méthodes d'approximation dépendante du temps

1. Introduction

2. Perturbation sinusoïdale

3. Règle d'or de Fermi

XIV. Introduction aux méthodes numériques

1. Approximation de Born-Oppenheimer

2. Modèle Indépendant

3. Déterminant de Slater

4. Système à un noyau et plusieurs électrons

5. Systèmes à plusieurs noyaux et plusieurs électrons

 

 

Méthodes d'enseignement

L'utilisation du tableau, les projections et les temps pour la résolution de problèmes (individuellement ou en groupe) sont alternés.

 

Méthode d'évaluation

Pour le cours : Examen oral avec préparation écrite (50 %).

Pour les exercices : Examen écrit en session (50%)

L'examen sera automatiquement considéré comme échoué si l'étudiant obtient une note inférieure à 8/20 soit pour l'examen relatif à la partie "Cours" soit pour l'examen relatif à la partie "Exercices" (indépendamment de la moyenne globale des deux notes).

Un étudiant qui, en première session, obtenu une note au moins égale à 10/20, soit pour les TD, soit pour la totalité de la théorie, dispose d'une dispense partielle de l’activité d'apprentissage qu'il a réussie pour la seconde session.

Lors de l'examen oral, l'étudiant tirera deux questions, dont chacune portera sur une partie différente du cours. Une note insuffisante pour l’une des deux questions peut entraîner un échec pour la totalité de l'examen de théorie.

 

Sources, références et supports éventuels

E. Prugovecki, "Quantum Mechanics in Hilbert space", Dover, 2006.

L. Debnath, P. Mikusinski, "Introduction to Hilbert spaces with applications", Eslevier Academic press, 2005.

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique I (Editions Hermann, Collection : Enseignement des sciences, 1997)

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique II (Editions Hermann, Collection : Enseignement des sciences, 1997)

J.-M. Lévy-Leblond, F. Balibar, Quantique : Rudiments (Dunod, Collection : Les cours de reference, 2007)

C. Ngô, H. Ngô ,Physique quantique : Introduction - Cours et exercices corrigés (Dunod, Collection : Sciences sup physique, 2005)

B.H. Bransden, C.J. Joachain. Quantum Mechanics. Pearson Education (2000)

Mécanique Quantique. C. Aslungul. De Boeck - Larcier (2007)

Quantique. Fondements et applications. J.-P. Pérez, R. Charles, O. Pujol. De Boeck (2013)

 

 

Langue d'enseignement

Français
Formation Programme d’études Bloc Crédits Obligatoire
Bachelier en sciences physiques Standard 0 6
Bachelier en sciences physiques Standard 3 6