Au terme de cette unité d’enseignement, l’étudiant sera capable de :
1. Maîtriser le calcul d’effets relativistes autour d’une masse ponctuelle dans l’espace-temps de Schwarzschild (dilatation du temps, redshift gravitationnel, déflexion de la lumière, etc.) et les applications en physique spatiale et métrologie de précision (GNSS, délai Shapiro, etc.)
2. Généraliser le problème des deux corps restreint de Kepler en champ gravitationnel fort et au cas de la lumière ou de particules ultrarelativistes
3. Comprendre la physique gravitationnelle des trous noirs et ses applications en astrophysique
4. Décrire la construction et les propriétés essentielles des modèles cosmologiques de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, interpréter les principaux tests cosmologiques et comprendre la portée et la limitation de la « théorie du Big Bang » ;
5. Utiliser le calcul symbolique, le calcul numérique et l’IA pour effectuer ou vérifier des calculs dans le cadre des applications relativité générale ;
6. Effectuer une recherche bibliographique sur une question avancée de gravitation relativiste ou de cosmologie, en proposer une synthèse structurée et la présenter oralement.
La portée de la physique fondamentale d’aujourd’hui s’étend sur toute l’échelle de la structuration de la matière, reliant l’infiniment petit à l’infiniment grand.
Ce module s’inscrit dans la suite du premier module sur les fondements de la relativité générale, en se consacrant aux applications comme les trous noirs et la théorie du Big Bang.
Le cours développe les solutions classiques de la relativité générale, les espace-temps de Schwarzschild et de Friedmann-Lemaître-Roberston-Walker, et en explore plusieurs applications en astrophysique fondamentale et en métrologie spatiale.
Il vise également à développer les compétences des étudiants dans l’utilisation du calcul symbolique, l’aide de l’IA pour la résolution de problèmes de recherche et dans l’étude bibliographique d’un sujet avancé.
Ce cours constitue un second module consacré aux applications de la gravitation relativiste : le champ gravitationnel relativiste de la Terre, des astres et des trous noirs d’une part, et l’expansion cosmologique depuis le Big Bang d’autre part.
Le cours se décompose en deux parties. La première traite de l’astrodynamique relativiste : le mouvement des corps dans les espace-temps de Schwarzschild ou de Kerr. On développe d’abord les solutions classiques des équations d’Einstein de Schwarzschild intérieur et extérieur, on décrit l’espace-temps de Kerr, puis on étudie les mouvements géodésiques libres et forcés pour les particules massives et la lumière, en généralisant le problème restreint des deux corps (problème de Kepler).
La seconde partie se concentre sur la cosmologie, à travers l’étude approfondie des espace-temps de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. À partir du principe cosmologique et des modèles historiques d’Einstein et de de Sitter, on introduit la constante cosmologique et puis l’expansion cosmique découverte par Georges Lemaître. On aborde la cosmologie sourcée par un champ scalaire et les problèmes cosmologiques de l’inflation, de la matière noire et de l’énergie sombre.
Équations d’Einstein, solutions du vide, horizons, effet Einstein et décalage spectral gravitationnel, symétrie sphérique
Solutions de Schwarzschild extérieure et intérieure, systèmes de coordonnées (Boyers-Lindquist, isotropes, Eddington-Finkelstein, etc.) compacité, diagramme de Flamm, trous noirs et trous de ver
mouvements géodésiques libres et forcés en formalisme hamiltonien pour les particules massives et la lumière
Tests expérimentaux et applications de la relativité générale en physique spatiale et dans le système solaire
Modèles d’univers statiques : principe cosmologique parfait, Einstein et de Sitter, constante cosmologique
Principe cosmologique restreint, référentiel et temps synchrones, symétrie maximale et géométrie de l’Univers
Modèles d’univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker et dynamique de l’expansion cosmologique
Approche variationnelle pour les équations des cosmologies avec un champ scalaire minimalement couplé (inflaton ou quintessence)
Ouverture vers les tests cosmologiques et les problèmes de l’inflation, matière noire, énergie sombre et formation des structures
Cours magistral donné au tableau.
Illustrations des résultats du cours en calcul symbolique ou numérique, avec des expériences interactives (mouvement autour d’un trou noir, dilatation du temps, navigation dans les univers possibles, etc.)
Séances de travaux dirigés comprenant une formation pratique au calcul symbolique, ainsi que l’utilisation de l’IA pour l’aide à la résolution de problèmes pratiques de relativité générale.
Utilisation d’ouvrages et de notes de cours avancées pour approfondir certains aspects et préparer l’étude d’un sujet personnel.
L’évaluation consiste en l’étude approfondie d’une application au choix, vue au cours ou non.
Le sujet est choisi par l’étudiant en concertation avec le professeur, qui peut suggérer des thèmes. Des références bibliographiques de départ sont proposées, mais l’étudiant est encouragé à mener sa propre recherche bibliographique.
Le travail doit impliquer une production technique de l’étudiant : calculs formels d’une solution particulière de la relativité générale (à la main ou en calcul symbolique) ; simulation numérique (de trajectoires, d’évolution cosmologique, etc.) et calcul d’observables ; modélisation et analyse de données spatiales, astrophysiques ou cosmologiques
Le travail fait l’objet d’une présentation orale à l’examen. L’étudiant peut s’appuyer sur ses notes manuscrites personnelles. Un travail en binôme est possible lorsque le sujet s’y prête ; la difficulté est alors adaptée.