Il récompense la qualité d’un travail de recherche dans les mathématiques et leurs applications, qui se distingue particulièrement par son originalité, la profondeur et la rigueur de son propos, la portée des résultats obtenus et leur caractère applicable ou publiable. Une importance particulière est accordée à la personnalité des candidats, leur maturité, leur charisme, leur implication personnelle dans le travail scientifique et leur aptitude à présenter les résultats d’une manière claire et adaptée face à un public non spécialisé.

Curriculum Vitae de Frank Callier.

• Titre : Etude de la stabilisation du chip-firing game sur des graphes orientés
• Promoteur : Christophe Dubussy

Résumé

Le Chip-firing game est un jeu dynamique sur des graphes inventé vers 1983 et étudié originellement par Anders Björner, László Lóvasz et Peter Shor. Dans ce jeu, un certain nombre de jetons est distribué à un graphe orienté pour former une configuration initiale. Un jeu légal basé sur cette configuration initiale est alors une succession de configurations telle que chaque configuration est obtenue à partir de la précédente via l’activation d’un sommet, qui va alors distribuer ses jetons à ses voisins en suivant les arêtes sortantes. Ce jeu légal peut arriver après un certain nombre d’étapes à une configuration stable, où aucun sommet n’a suffisamment de jetons pour être activé. Nous parlerons alors de jeu légal fini dans ce cas, et de jeu légal infini dans le cas contraire. La catégorie de graphe étudiée est la plus générale, ce qui signifie que nous travaillons avec des multigraphes orientés avec boucles n’étant pas nécessairement fortement (ou faiblement) connexes. En 1992, Björner et Lóvasz introduisent la question du minimum d’instabilité, qui est défini comme la quantité minimale de jetons qu’il est possible de distribuer afin de générer un jeu légal infini. 

Dans la littérature, une borne inférieure et supérieure de ce minimum d’instabilité pour les graphes fortement connexes sans boucles sont proposées, ainsi que la preuve de l’égalité de ce dernier avec le feedback number pour les graphes eulériens fortement connexes sans boucles. Dans ce mémoire, nous généralisons ce dernier résultat à l’ensemble des graphes fortement connexes et présentons ainsi également une approche alternative pour obtenir les résultats précités. Nous donnons également une caractérisation de ce minimum d’instabilité via une nouvelle notion appelée le feedback number primitif. L’idée fondamentale explorée est d’analyser les informations liées à une séquence de sommets activés, donnée dans l’ordre inverse d’activation, de façon à déterminer les séquences demandant le minimum de jetons. 

Nous montrons ensuite qu’il est possible de calculer le minimum d’instabilité de tout graphe à partir du minimum d’instabilité de ses composantes puits (qui sont fortement connexes). Nous poursuivons avec une généralisation du Chip-firing game, dans laquelle la condition d’activation de chaque sommet est définie par un nombre qui peut être plus grand que le degré sortant, et montrons que cette généralisation se ramène au Chip-firing game dans le cadre de l’étude du minimum d’instabilité. Enfin, nous explorons l’implémentation d’heuristiques d’estimation du minimum d’instabilité.

• Titre : Formalisation d'un indicateur de chaos se basant sur les graphiques de récurrence. Applications à des séries temporelles de plancton
• Promoteur : Jérôme Daquin
• Co-promoteur : Alexandre Mauroy

Résumé

Du mouvement des satellites autour de la Terre jusqu’aux fluctuations des populations de plancton, le chaos semble se manifester à toutes les échelles de la nature. L’étude d’un tel phénomène se fait depuis des décennies à l’aide d’outils bien connus, comme l’exposant caractéristique maximal de Lyapunov et le Fast Lyapunov Indicator (FLI). Cependant, dès que l’on quitte le cadre des modèles théoriques, où les équations du mouvement sont explicites, pour celui des données réelles, l’utilisation de ces outils devient plus délicate et nécessite souvent de passer par le processus coûteux de reconstruction d’un modèle. 

L’objectif principal de ce mémoire est la formalisation d’un nouvel indicateur de chaos ne nécessitant pas une telle reconstruction, ainsi que l’étude de son applicabilité, des modèles théoriques aux séries temporelles de plancton, en discutant de ses potentielles limites dans les deux cas.

Nous nommons cet indicateur le DESCI : Divergence Evolution Slope Chaos Indicator. Dans un premier temps, nous introduisons les notions de théorie des systèmes dynamiques nécessaires à la compréhension de ce mémoire, ainsi que deux indicateurs de chaos qui vont y être utiles. Ensuite, nous allons utiliser différents concepts issus de l’analyse quantitative de récurrence afin de faire émerger des lois de puissance portant sur l’évolution de la moyenne spatiale de la divergence. Ces lois vont permettre de distinguer les orbites régulières des orbites chaotiques dans un cadre théorique contrôlé. Subséquemment, elles vont être formalisées sous la forme d’un indicateur de chaos, le DESCI, dont la robustesse va être étudiée face à la reconstruction de l’espace de phase, à l’ajout d’un bruit gaussien sur les données, ainsi qu’à la combinaison de ces deux procédés sur des modèles théoriques connus de la littérature. Finalement, le DESCI va être appliqué à des séries temporelles de plancton afin de comparer les classifications obtenues avec celles issues d’une étude existante et donc d’étudier son applicabilité à ces données réelles.