Les concepts physiques propres à la relativité restreinte et générale. Les éléments de calcul différentiel et de calcul tensoriel nécessaires à la relativité générale. Les conceptions relativistes du temps, de l'espace, de la masse, du moment et de l'énergie. La formulation covariante de l'électromagnétisme. Les géodésiques. L'équation d'Einstein. La métrique de Schwarzschild. La "force de Newton" à partir de la relativité générale. Le ralentissement du temps par la gravité. L'effet de lentille gravitationnelle. Langage Python pour la résolution d'exercices.
Acquérir les concepts physiques qui construisent la théorie de la relativité, savoir démontrer les résultats principaux, maîtriser les outils mathématiques présentés au cours, savoir appliquer les concepts du cours à quelques problèmes classiques.
Il s'agit d'un premier cours de relativité. On revoit dans le cadre de la relativité restreinte les concepts d'espace, de temps, de masse, de moment et d'énergie. On illustre tous ces concepts avec les diagrammes d'espace-temps, le fameux paradoxe des jumeaux et divers exercices numériques. On montre comment les transformations de Lorentz permettent de concilier les lois de la mécanique avec celles de l'électromagnétisme. On revoit certains outils mathématiques de la relativité générale (vecteurs, formes différentielles, tenseurs, dérivée covariante). On aborde ensuite les géodésiques afin de déterminer les trajectoires dans un espace-temps courbé par la gravitation. On introduit ensuite le tenseur de Riemann, le tenseur de Ricci et le tenseur d'Einstein afin de rendre compte de la courbure de l'espace-temps. Le tenseur énergie-impulsion est utilisé pour décrire les densités et les flux de moment et d'énergie. On relie finalement le tout via l'équation d'Einstein. On peut alors établir la métrique de Schwarzschild pour décrire l'espace-temps autour d'une masse centrale. La relativité générale permet à ce stade de retrouver la "force gravifique" de Newton et d'expliquer le ralentissement du temps par la gravitation. Le cours se termine avec différentes applications de la relativité (avance du périhélie de Mercure, déviation gravitationnelle d'un rayon de lumière, ondes gravitationnelles, trous noirs).
I. Les notions de temps et d'espace en relativité restreinte
Principes de la relativité restreinte
Expérience de Michelson-Morley
Dilatation du temps
Contraction des longueurs
Illustration : les muons qui traversent l'atmosphère
Invariance du ds²
Métrique de Minkowski
Transformations de Lorentz
Loi de transformation des vitesses
Simultanéité
Diagrammes d'espace-temps
II. La masse, le moment et l'énergie en relativité restreinte
Expression relativiste du moment
Expression relativiste de l'énergie
Energie de masse au repos, énergie cinétique & énergie totale
Lien avec l'équation de Dirac & anti-matière
La masse comme source d'énergie
III. Le principe de moindre action en relativité restreinte
Construction du Lagrangien relativiste
Application de formalisme Lagrangien
Application du formalisme Hamiltonien
Paradoxe des jumeaux
Voyage dans le temps
IV. Introduction au Python
Travailler avec Anaconda (Python 3.7)
Commandes de base
Installation de librairies
La librairie numpy
La librairie matplotlib
V. Exercices sur ordinateur
VI. Outils mathématiques nécessaires à la relativité
Coordonnées, base naturelle, base générale, vecteurs
Changements de coordonnées
Commutateurs
Tenseurs, lois de transformation, tenseur métrique
Dérivée covariante
Torsion
Formule des Gamma^k_ij
VII. L'équation des géodésiques
VIII. Electromagnétisme
Formulation covariante de l'électromagnétisme
Invariance des équations de Maxwell sous transformations de Lorentz
IX. Relativité générale
Opérateur de courbure
Tenseur de Riemann, tenseur de Ricci, courbure scalaire
Tenseur énergie-impulsion
Equation d'Einstein
La métrique de Schwarzschild
Ralentissement du temps par la gravitation
La force de Newton
Applications de la relativité
Le cours est donné par vidéo-projecteur (PowerPoint). Le tableau est utilisé pour certains développements. Un syllabus accompagne le cours.
Un examen écrit porte sur la matière présentée au cours (PowerPoint à trouver sur WebCampus). Une liste de questions à connaitre pour l'examen sera fournie. La pondération des différentes parties de la note finale est la suivante : examen écrit (15 points), exercices de programmation (5 points). Un échec dans l'examen écrit est absorbant.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne and John Archibald Wheeler, "Gravitation" (W.H. Freeman and Company, New York, 1973).
| Formation | Bloc | Crédits | Obligatoire |
|---|---|---|---|
| Bachelier en sciences physiques | 3 | 3 | Oui |