Quantifying the degree of average contraction of Collatz orbits

L’arithmétique est la branche des mathématiques qui traite les nombres entiers; additions, soustractions, multiplications, divisions, nombres pairs (divisibles par 2) et impairs (pas divisibles par 2), sont tous des souvenirs de nos années à l’école primaire. Tout parait si évident et simple qu’on ne peut pas imaginer l’existence de problèmes d’arithmétique dont on ne connait pas la solution, encore plus si ces problèmes sont peuvent être exprimés sans utiliser des expressions compliquées. Mais lisez la suite.

Prenons un entier quelconque. S’il est pair nous le divisons par 2. S’il est impair alors nous le multiplions par 3 et additionnons 1. Cette procédure nous permet de calculer un nouveau entier en partant du premier. Nous pouvons donc continuer et appliquer la procédure à ce deuxième entier et ainsi de suite. Nous obtiendrons un ensemble d’entiers, une trajectoire comme l’appellent les mathématiciens.

Faisons un exemple. Prenons 1, il est impair, donc il faut le multiplier par 3 et additionner 1, ce qui donne 3 x 1+ 1 = 4. Or 4 est pair il faut donc le diviser par 2 et on obtient 2, qui est encore pair et après division par 2 on obtient finalement 1; voici la trajectoire de 1: 4, 2, 1.

Considérons maintenant 3 et appliquons la même procédure, nous obtiendrons la trajectoire suivante: 10,5,16,8,4,2,1.

A nouveau on termine avec 4, 2, 1! Magique n’est-ce pas? Nous pouvons tester d’autres entiers et apparemment nous allons toujours terminer avec 4, 2, 1. Pouvons nous prouver ce fait? C’est à dire savoir que n’importe quel entier terminera sa trajectoire avec 4, 2, 1 sans devoir la calculer?

Malgré sa simplicité, nous ne connaissons pas de réponse à ce simple problème connu depuis presque un siècle comme conjecture de Collatz.

En principe ils pourraient exister des entiers qui ne suivent pas ce destin (et la conjecture serait fausse), mais des chercheurs ont exclu cette possibilité en analysant les trajectoires pour des nombres énormes allant jusqu’à milliards de milliards. Mais une démonstration n’existe toujours pas.

Dans un article qui vient de paraître Timoteo Carletti (Université de Namur) et Duccio Fanelli (Université de Florence, Italie) ont prouvé un résultat qui semble confirmer la validité de la conjecture.

L’idée du travail est de relire les trajectoires à différentes “résolutions” en agrégeant ensemble nombres entiers en classes “d’équivalence”. Le nombre 1 est mis dans la première classe, le 2 dans la deuxième jusqu’au 8 dans la huitième; puisque il n’y a plus de classes on recommence et on met le nombre 9 dans la première, le 10 dans la deuxième et enfin le 16 dans la huitième. On procède ainsi de suite avec tous les entiers, chacun casé dans une des 8 classes.

On prend ensuite un entier, on construit sa trajectoire, mais au lieu de garder trace de tous les entiers qui forment cette trajectoire, on considère seulement les classes qui sont visitées. Par exemple la trajectoire du nombre 3 (qui est 3,10,5,16,8,4,2,1) devient 3, 2, 5, 8, 8, 4, 2, 1. Avec cette méthode, Carletti et Fanelli, ont pu démontrer que les trajectoires sont en moyenne contractantes et donc elles terminent sur le plus petit entier existant, c’est-à dire 1. Cette affirmation, qui est au coeur du résultat, est basée sur une partie assez technique dont le but est de “mesurer” convenablement les 8 classes.

Il s’avère que la “résolution” fourni par les 8 classes est “très floue”, elle pourrait ne pas “voir” des trajectoires dont la mesure serait négligeable et dont le comportement diffère de celui de la trajectoire moyenne. Carletti et Fanelli ont donc généralisé leur idée en considérant classes de plus en plus nombreuses, en passant de 8 à 64, ensuite à 512, 4096, 32768,…. En travaillant ainsi avec une "résolution” de plus en plus fine ils ont pu confirmer le caractère contractant des trajectoires moyennes, qui - fait surprenant - ne change pas en augmentant le nombre des classes.

Le nombre des classes peut être arbitrairement grand et donc la résolution arbitrairement fine, jusqu’au point où “il y a autant de classes que d’entiers” mais en ce moment même la “loupe” ne fonctionne plus. Mathématiquement, le résultat ne peut pas être étendu par continuité aux entiers, mais l’avoir démontré que les trajectoires sont contractantes, avec le même facteur de contraction, pour toute résolution utilisée, peut-être considéré comme la plus forte preuve de la validité de la conjecture.